Die Eine-Million-Dollar-Frage

Worum geht es im Kurs?

Die Eine-Million-Dollar-Frage oder "Welche Probleme haben effiziente Algorithmen?" oder "Ist das Finden einer Lösung schwerer als das Überprüfen einer Lösung?"

Sie lösen vielleicht manchmal Sudokus. Dabei muss man nach gewissen Regeln die Zahlen 1 bis 9 in ein Spielfeld der Größe 9 mal 9 eintragen. Ich habe schon Stunden mit der Lösung eines Sudokus zugebracht. Jedes Kind in der Grundschule kann überprüfen, ob ein ausgefülltes Sudoku die Regeln erfüllt. Unsere Lebenserfahrung sagt uns, dass bei Sudokus Lösen ganz sicher schwerer ist als Überprüfen.

Die Informatik kennt auch viele Probleme, bei denen man unter einer Vielzahl von Möglichkeiten die richtige finden muss. Denken Sie an ein Logistikunternehmen, das an viele Betriebe liefern soll und die billigste Reihenfolge zum Anfahren der Betriebe bestimmen will. Dieses Problem heißt das Traveling Salesman Problem. Es ist dafür kein effizienter Algorithmus bekannt. Man kann aber für eine Reihenfolge ganz leicht überprüfen, ob sie eine vorgegebene Länge nicht überschreitet. Ob es für das Traveling Salesman Problem einen effizienten Algorithmus gibt, ist eine tiefe Frage, für deren Lösung die Clay-Foundation ein Preisgeld von einer Million Dollar ausgesetzt hat.

Inhalte

1. Die Ziele von Theorie

2. Algorithmisch unentscheidbare Probleme

3. Die Eine-Million-Dollar-Frage

   1. Die Klassen P und NP
   2. Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik
   3. Weitere Probleme in NP
   4. Genaue Definition der Klasse NP
   5. Der Satz von Cook und Levin: P = NP genau dann, wenn SAT in P
   6. Der Satz von Karp

   7. Eine Reduktion

4. Was wäre wenn...

   1. ... P ungleich NP wäre und man es beweisen könnte?

   2. ... P gleich NP wäre und man es beweisen könnte?

5. Ansätze zur Lösung NP-vollständiger Probleme

Bestandteile des Kurses

1. Videos
2. Folien
3. Übungen mit Lösungen
4. Logbuchaufgaben
5. Zertifikat

Danksagung

Ich danke meinen (ehemaligen und aktuellen) Mitarbeitern, mit deren Hilfe ich die Vorlesung Ideen und Konzepte der Informatik an der Universität des Saarlandes entwickelt habe:

Dr. Konstantinos Panagiotou, Dr. Adrian Neumann, Dr. Antonios Antoniadis, Dr. Corinna Coupette und Angelina Mansion.

Dieser Kurs und die gesamte Kursreihe bauen auf dieser Vorlesung auf.

Kursinhalt

Was werden Sie lernen?

1. Ziele der Theoriebildung
2. Das Halteproblem und andere unentscheidbare Probleme
3. Die Klassen P und NP: effizient lösbar versus eine Lösung effizient verifizieren
4. Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik
5. Reduktionen zwischen Problemen
6. Der Satz von Cook und Levin: SAT ist ein schwerstes Problem in NP
7. NP-Vollständigkeit
8. Der Satz von Karp: weitere NP-vollständige Probleme
9. Was wäre, wenn das Million-Dollar-Problem gelöst wäre?
10. Approximationsalgorithmen, exakte Algorithmen, Spezialfälle, Heuristiken

An wen richtet sich der Kurs?

Alle, die die Eine-Million-Dollar-Frage verstehen wollen. 

Lehrende

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Kurt Mehlhorn

Kurt Mehlhorn ist begeisterter Forscher und Lehrer. Er ist der festen Überzeugung, dass alle Bürger(innen) Grundkenntnisse in Informatik haben sollten; dafür hat er diese Kurse entwickelt. Er ist Seniorprofessor für Informatik an der Universität des Saarlandes und war Direktor am Max-Planck-Institut für Informatik. Er ist Koautor von über 300 Veröffentlichungen und sechs Büchern und einer der Architekten der Algorithmenbibliothek LEDA. Bei ihm haben mehr als 80 Doktorand(inn)en promoviert. Er erhielt mehrere Auszeichnungen, darunter den Leibniz Preis, den ACM Theory and Practice Award und fünf Ehrendoktoren. Er hat die Algorithmic Solutions Software GmbH mitgegründet, ist verheiratet und Vater von drei Kindern. Wenn Sie mehr über ihn wissen wollen, besuchen Sie seine Webseite (https://people.mpi-inf.mpg.de/~mehlhorn/).